Devoir de demain !

Fiche de Révision Ultime

Basée sur le cours R206 et les TD de numérisation du signal.

1. Pourquoi numériser un signal ?

Un signal analogique varie continuellement dans le temps (ex : son, tension, voix). La numérisation permet de transformer ce signal en une suite de nombres binaires traitables par un ordinateur ou transmissibles sur un réseau (Numéris, IP, etc.).

Note : L'échantillonnage s'applique aussi aux images (spatial) avec des "lignes/colonnes sur 4" pour les niveaux de gris par exemple.

La Chaîne Complète (vue globale)

Capteur Amplificateur CAN Traitement / Trans CNA Sortie Analogique

Analogique

Temps continu + Amplitude continue ($x(t)$)

Numérique

Temps discret + Amplitude discrète ($x[n]$)

2. Représentation Spectrale & Outils Mathématiques

Un signal peut être étudié dans le domaine temporel $x(t)$ ou fréquentiel $X(f)$ (son spectre).

Sinusoïde $x(t) = A\sin(2\pi f t)$ : Le spectre est un pic à la fréquence $f$.
Somme de sinusoïdes : Pics à $f_1, f_2$, etc.
Signal carré : Contient une fondamentale $F_0$ et des harmoniques impaires ($3F_0, 5F_0, 7F_0...$).

Le Produit de deux cosinus (Super Important pour l'Exo 1 du TD !)

Quand on multiplie deux signaux (comme lors de l'échantillonnage), on crée de nouvelles fréquences. La formule magique :

$$\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$$

Exemple du TD : $x(t) = 3\cos(2\pi \cdot 2000t)$ et $y(t) = 2\cos(2\pi \cdot 5000t)$
Produit $m(t) = x(t)y(t) \Rightarrow$ Le spectre contiendra des pics à 7000 Hz $(5000+2000)$ et 3000 Hz $(5000-2000)$.

Le peigne de Dirac

C’est l'outil mathématique pour modéliser l'échantillonnage. C'est une suite d’impulsions espacées de $T$.

$$\psi_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

3. Échantillonnage & Théorème de Shannon

Principe

On prélève la valeur du signal toutes les $T_e$ secondes.

$$T_e = \frac{1}{f_e}$$

Où $f_e$ est la fréquence d'échantillonnage.
Ex : $f_e = 8 \text{ kHz} \Rightarrow T_e = 0.125 \text{ ms}$.

Signal échantillonné

Mathématiquement, on multiplie le signal par le peigne de Dirac.

$$x_{ech}(t) = x(t) \cdot \psi_{Te}(t)$$

Le spectre se répète autour des multiples de $f_e$ : $f, f \pm f_e, f \pm 2f_e...$

LE THÉORÈME DE SHANNON (Tombe 100% du temps)

$$f_e > 2 \cdot f_{max}$$

Il faut échantillonner à une fréquence STRICTEMENT supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans le signal.

Si respecté : On peut reconstruire parfaitement le signal.
Si NON respecté ($f_e < 2f_{max}$) : Il y a Repliement de Spectre (Aliasing). Les spectres se chevauchent, le signal est détruit.

Exemple classique (Téléphonie) : Voix limitée à $f_{max} = 3400 \text{ Hz}$.
Shannon exige : $f_e > 6800 \text{ Hz}$. On choisit le standard $f_e = 8000 \text{ Hz}$ (8 kHz).

4. Quantification & Rapport Signal/Bruit

Après l’échantillonnage, on transforme la tension (continue) en un niveau discret. Si on code sur $n$ bits, on a $2^n$ niveaux possibles.

Le Pas de quantification ($q$)

C'est l'écart de tension entre deux niveaux consécutifs.

$$q = \frac{PE}{2^n}$$

Avec la Pleine Échelle : $PE = V_{max} - V_{min}$

Ex: PE=10V, 8 bits $\Rightarrow q = \frac{10}{256} = 39\text{ mV}$

Erreur de quantification ($\epsilon$)

La différence entre le signal réel et quantifié : $\epsilon(t) = x_q(t) - x(t)$.

L'erreur max est : $\pm \frac{q}{2}$

$$P_\epsilon = \frac{q^2}{12}$$

(Puissance du bruit de quantification)

Rapport Signal / Bruit de quantification (SNR / $S/N_q$)

$$S/N_q = 10 \log\left(\frac{P_s}{P_\epsilon}\right)$$

Formule développée (souvent utile) :

$$S/N \approx 6n + 1.76 + 20 \log\left(\frac{V_{pp}}{PE}\right)$$

🚀 Règle d'or : Ajouter 1 bit de codage augmente le SNR de 6 dB !

5. Les Composants de la Chaîne (CAN, CNA & Filtres)

Voici l'ordre d'action détaillé d'une chaîne de numérisation complète (pour les questions de cours) :

Filtre anti-repliement (avant échantillonnage)

C'est un filtre passe-bas. Son but est de supprimer toutes les fréquences supérieures à $f_e/2$ pour éviter l'aliasing (respecter Shannon).

CAN (Convertisseur Analogique Numérique) / ADC

Entrée : tension continue. Sortie : Nombre numérique sur $n$ bits. Il réalise l'échantillonnage, la quantification et le codage.
Relation CAN : $N = \text{arrondi}(\frac{V_e}{q})$

(Transmission numérique)

CNA (Convertisseur Numérique Analogique) / DAC

Fait l'inverse du CAN. Convertit le mot numérique $N$ en tension analogique discrète : $V = q \cdot N$.

Bloqueur (Sample and Hold)

Souvent intégré au CNA. Il maintient la tension de l'échantillon stable jusqu'au prochain échantillon (transforme les impulsions de Dirac en signal en "escalier").

Filtre de lissage

C'est un filtre passe-bas placé à la toute fin. Il lisse les "escaliers" du bloqueur en supprimant les fréquences $> f_e/2$ pour reconstruire le signal analogique originel parfait.

6. Codage & Débit Numérique

Les Types de Codages Binaires

1. Bit de signe (Valeur Absolue + Signe)
Le MSB (bit de poids fort) donne le signe.
0 = négatif, 1 = positif (ou inversement selon convention, à vérifier avec le prof).
2. Binaire décalé
On ajoute un offset pour que tout soit positif : $N' = N + 2^{n-1}$.
3. Complément à 2
Si positif : binaire normal. Si négatif : Inverser tous les bits et faire $+1$. L'intervalle couvert est $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$. Facilite l'arithmétique dans les processeurs.

Débit Numérique ($D$)

Chaque échantillon est codé sur $n$ bits. On a $f_e$ échantillons par seconde. Le débit est donc :

$$D = n \times f_e$$

Exo Type (Très Fréquent) :
Calculer le débit du standard de téléphonie classique PCM :
$n = 8$ bits
$f_e = 8000$ Hz (8 kHz)
$D = 8 \times 8000 = 64 \ 000 \text{ bits/s}$ (64 kbps)

7. Codecs, Standards Audio & Exo TD

Qu'est-ce qu'un Codec ?

Codeur / Décodeur. Il regroupe toute la chaîne (Filtres, Échantillonnage, CAN, Compression... et le sens inverse). Son but principal est de **réduire le débit ($D$)** de transmission.

PCM (MIC) : Codage basique (valeur absolue). ADPCM / DPCM : Codage prédictif (on code uniquement la différence entre l'échantillon actuel et le précédent, ce qui prend moins de bits !).

Les Standards Audio (à connaître pour le QCM)

Standard	Technique	Débit	Usage
G.711	PCM (Lois A / µ)	64 kbps	Téléphonie filaire classique
G.722	ADPCM	48/56/64 kbps	Voix haute qualité (HD Voice)
G.726	ADPCM	16 à 40 kbps	Liaisons téléphoniques internationales
G.729	CS-ACELP	8 kbps	VoIP (faible bande passante)
GSM 6.1	RPE-LTP	13 kbps	Téléphonie Mobile (2G)

La Quantification Non-Uniforme (Exo 2 p12 du TD)

Les lois de compression A et $\mu$ utilisent des pas de quantification variables :

De petits pas de quantification pour les petits signaux (la voix humaine est souvent de faible amplitude).
De grands pas de quantification pour les grands signaux.

But final : Améliorer significativement le Rapport Signal/Bruit (SNR) pour les signaux de faibles amplitudes.

Méthodologie de l'exercice :

Normalisation : On ramène la tension entre 0 et 1 (ou -1 et 1).
$x = \frac{V_{in}}{V_{max}}$.
Ex: $V_{in} = 0.14V, V_{max} = 5V \Rightarrow x = 0.028$
Compression (Segment ABC) : On regarde le graphique (Loi A ou loi µ). La valeur $x$ tombe dans un segment spécifique (courbe log). Le codec lui attribue 3 bits ($ABC$).
Position (WXYZ) : Dans ce segment, on trouve la position exacte, codée sur 4 bits.
Signe (S) : 1 bit. Ex: Si $V_{in}$ est positif $\Rightarrow S=1$.
Résultat final : Le mot binaire (8 bits) se construit : S ABC WXYZ.

Les 10 Formules d'Or

$$T_e = \frac{1}{f_e}$$

$$x_{ech}(t) = x(t) \cdot \psi_{Te}(t)$$

Théorème de Shannon

$$f_e > 2f_{max}$$

$$q = \frac{PE}{2^n}$$

$$PE = V_{max} - V_{min}$$

$$\epsilon(t) = x_q(t) - x(t)$$

Puissance bruit quantification

$$P_\epsilon = \frac{q^2}{12}$$

SNR en décibels

$$SNR_{dB} = 10 \log\left(\frac{P_s}{P_\epsilon}\right)$$

Débit numérique

$$D = n \times f_e$$

Sortie du CNA (Analogique)

$$V = q \cdot N$$

Attention aux Pièges du Prof !

❌ Erreur : $f_e > f_{max}$ pour Shannon

C'est faux ! La condition stricte est $f_e > 2 \cdot f_{max}$. N'oublie pas le "2" ! L'égalité ne suffit généralement pas.

❌ Erreur : Confondre $f_e$ et $T_e$

L'un est en Hertz (fréquence = nb d'échantillons par seconde), l'autre en Secondes (Période = temps entre deux échantillons). $T_e = 1/f_e$.

❌ Erreur : Pas de quantification $q = PE / n$

Grave erreur de division par le nombre de bits ! Le nombre de niveaux (marches de l'escalier) est de $2^n$. Donc $q = PE / 2^n$.

❌ Erreur : Oublier le $n$ dans le débit

Certains écrivent $D = f_e$. C'est faux, on transmet $n$ bits pour CHAQUE échantillon. Donc $D = n \times f_e$.

Entraînement Express (20 Cartes)

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